統計學: 皮爾森相關係數為什麼小於等於1

前提: 最近因為授課介紹基礎統計學，所以有介紹Pearson correlation coefficient，但之前寫的那篇「相關係數與共變異數(Correlation Coefficient and Covariance)」有沒有說明為什麼相關係數要小於等於1。

這篇文章會用兩種方式證明相關係數小於等於1，過程非常簡單，有興趣的可以參考一下。

1. 利用柯西不等式(Cauchy-Schwarz inequality)
2. 利用變異數特性

皮爾森相關係數公式如下:

所以要證明皮爾森相關係數小於等於1，就是要證明

這條式子成立，皮爾森相關係數就是小於等於1

其中共變異數(covariance)和變異數(variance)公式如下:

1. 利用柯西不等式(Cauchy-Schwarz inequality)

2. 利用變異數特性

(第二個答案是我給學生回去練習的作業)

這個公式是提示

提示的由來

我們用下式:

對a做偏微分

因為variance會大於等於0，所以var(ax+y)≥0

所以