指數(exponential)級數和極限定義

指數(exponential)有兩種常見的定義，包括級數定義(Series Definition)和極限定義(Limit Definition)。本篇文章主要是在介紹指數函數的級數定義和極限定義之間的等價性。

指數級數定義: 對於實數或是複數的x，指數函數的級數，

指數極限定義: 對於實數或是複數的x，指數函數的極限:

指數從泰勒展開式看指數級數定義

泰勒展開式可以將任意函數

當a=0也可以把這個級數稱為馬克勞林級數。

所以指數函數的馬克勞林級數(泰勒展開式在a=0展開)，

所以指數函數的級數為指數函數的馬克勞林級數:

指數級數定義 等價於 指數極限定義

我們先將指數極限定義內多項式利用二項式展開(binomial expansion)

Note: 二項式展開(binomial expansion)

Recall:

我們去limit內的項目出來利用二項式展開

令

我們看一下n趨向無限大，這時候

當k≤n

所以

因此