統計學: 常態分佈積分等於1

前提: 最近因為授課需求所以介紹了Gaussian classifier，順便介紹常態分佈(高斯分布)的pdf積分要等於1，但因為時間有限，所以課堂上沒有特別去證明，因為是研究所的課程，這部分有修過微積分課程的學生理論上應該都要知道。

這篇文章要介紹(數學推導)，常態分佈積分為什麼等於1。

首先我們先回顧常態分佈:

常態分佈的pdf為

所以要證明常態分佈積分等於1

第一個我們會觀察到的是必須先推導

然後再推導

以下我們分成這兩部分證明。

(1) 第一部分

Proof (1):

此題我們要用夾擊定理來估算，我們將函數定義為f(x)在±b內計算

我們將f(x)取平方

我們觀察exp項的是次方項，

紅色正方形會介於綠色大圓和藍色小圓之間

藍色小圓區塊<紫色甜甜圈<綠色大圓區塊

左項:

左項

右項:

右項

夾擊法

所以

因為面積為正數，負的不合

Note前面有一段公式轉換如下，我們做這段的推導:

將x和y變數變換(極座標轉換)，我們讓x=rcos θ，y=rsin θ

這時候的變數從x和y換成r和θ，所以我們也要轉換dx和dy，因為是對x和y做雙重積分。

Recall

我們得到座標變換的Jacobian為

因為r是半徑是正數，要大於0，經由推導

所以對r積分範為0~b，圓夾角就0~2π。

2.1 我們這邊簡化推導標準常態分佈(一般常態分布也用同樣方式推導)

此部分要證明

Proof 2:

變數變換:

因為前面一部分已經推過，所以這邊很簡單

2. 2 一般常態分布

Proof :