統計學:大家都喜歡問的系列-要抽多少樣本才夠做統計

這邊我只針對良率部份來說，要抽多少樣本，可以達到統計意義。

開始之前我們需要先知道什麼是信賴區間?

什麼是信賴區間?

白話說就是你有一批貨要出貨，但你不可能全部都檢驗，所以從中抽出的一批量的樣本，結果算出不良率是0.5%，然後用一堆看不懂的公式，你就可以推出此批貨(母數)不良率可能是介於0.3~0.7%之間。也就是我有統計上的信心來說這整批貨最差狀況就是有0.7%的不良率，最好就是只有0.3%不良率。

信賴區間(Confidence interval)公式

CI(α): α信心程度下信賴區間 (從已知參數推估出來)
p: 不良率 (已知)
Zα/2: α信心程度下的Z分數(相差幾個標準差)。(α=95% → Zα/2=1.96; α=99% → Zα/2=2.58)
ns: 樣本數 (已知)

Note:
這邊大家應該會好奇p(1-p)是什麼，如果有上過統計學，如果樣本是成功和失敗這種二元問題，會對應到伯努利分佈(Bernoulli distribution)，其機率密度函數(probability density function, pdf)為

p(1-p)其實就是伯努利分佈的變異量(variance)。

抽樣本數要多少?

這個時候問題就來了，我們是否可以推論出，如果要達成統計上的依據，那需要從裡面抽多少樣本出來檢查，答案是可以，廢話不然怎麼有這篇。

從上面信賴區間公式來看，我們由不良率(p)、樣本數(ns)和Zα/2可以算出α信心程度下信賴區間(CI(α))。
信賴區間部份是推估誤差範圍，如果推估要抽多少樣本部份，跟信賴區間不太一樣。
我們要反其道而行，我們要先假設
1. 信賴水準 (Zα/2)
2. 我們可以容忍的誤差範圍(ε)
3. 母體資料的變異程度
然後在去推估樣本數。

經由推導

但上面提了一堆，都沒有提到母體數知道的狀況下是否有差別。
根據此網頁貼出的Dillman於2000年提出的公式

網頁貼的是公式是

這裡的B=ε, C= Zα/2

哇靠怎麼這麼複雜，而且跟我上面寫的不太一樣，那是因為這個公式有做「有限母體數的修正」。np就是母體數。

有限母體數的修正公式如下:

這個時候推出來的ns因為在已知母體數的狀態下，只用樣本推估可能會有一點bias，所以需要做一些修正，上式的分母永遠大於1，所以修正後的樣本數都會比母體數未知的狀態在少一點。這是為什麼哩?因為沒有修正推估出的樣本數是基於中央極限定理(母體樣本趨近無窮大)，所以修正後的公式分母基本上等於1。

廢話不多說，馬上來看一下上述公式怎麼推到網頁跑出來很畸形的公式，

跟網頁貼的公式是不是長一樣。

Note:
跟前面不太一樣，這邊的p不是不良率，因為我們還沒有抽樣，也不知道不良率是多少，所以主要可以借由pilot study或是其他資源(過去經驗)去設定為多少，一般在不知情狀況下都設為0.5。

所以如果你知道你總出貨量為1,000,000片或是1,000片下，容忍誤差假設是0.03，p設定為0.5，在95%信心水準下。
抽樣數為